Nunca será um verdadeiro matemático aquele que não for um pouco de poeta. (Karl Weiers)
terça-feira, 17 de março de 2015
segunda-feira, 18 de agosto de 2014
QUESTÕES RESOLVIDAS FATORAÇÃO
Simplifique as expressões fatorando o numerador
e o denominador:
1) __x2
– 144____ = (x + 12)(x – 12) = x – 12
x2 + 24x + 144
(x + 12)2 x + 12
2) __x2
+22x + 121 = (x + 11)2 = x + 11
x + 11 x + 11
3) x2 - 100 = ( x – 10)(x
+ 10) = x + 10
x – 10 x – 10
4) x2 + 5x = x.( x + 5)
= x
x + 5 x + 5
5) 4x – 8 = 4.(x
- 2) = 4
x – 2 x – 2
6) 5x + 10 = 5.(x
+ 2) = 1
10x + 20
10.(x + 2) 2
7) a2 –
ab = a.( a – b) = a
a – b a – b
8) x2 +
3x = x.(x + 3) = x
4x + 12
4.(x + 3) 4
9) 7c
– 21 = 7.(c – 3) = 7
c2 – 6c + 9 (c – 3)2 c - 3
10) x2 –
16x + 64 = (x – 8)2 = x – 8
x2 – 64 (x – 8)(x + 8) x + 8
11) m2 – 25 = (m – 5)(m + 5) =
m - 5
m2 + 10m + 25 (m + 5)2 m + 5
12) 4x2
– 4x + 1 = (2x – 1 )2 = 2x – 1
4x2 – 1 (2x – 1)(2x + 1) 2x + 1
13) x2 +
6x + 9 = (x + 3)2 = x + 3
x + 3 x + 3
14) a3 –
ab2 = a.(a2 – b2) = a.(a
– b)(a + b) = a – b
a.( a + b) a.(a + b) a(a + b)
15) a2 +
ab – ac – bc = a.(a + b) – c.(a + b) = (a + b)(a – c) = a
+ b
a2 – ac a.(a – c) a.(a – c) a
16) 9x2
– 6x + 1 = (3x – 1)2 =
3x – 1
9x2 – 1 (3x – 1)(3x + 1) 3x + 1
17) x2 +
5x + ax + 5a = x.(x + 5) + a.( x + 5) = (x + 5)(x + a) = x
+ a
2x + 10 2.(x + 5) 2.( x + 5) 2
18) 7a – 7b + am –
bm = 7(a – b) + m(a – b) = (a
– b)(7 + m) = 7 + m
a2 – 2ab + b2 (a – b)2 (a – b)2 a – b
19) x3 –
x2 + 6x – 6 = x2.(x
– 1) + 6.(x – 1) = (x – 1)(x2
+ 6) = x2 + 6
7x5 – 14x4 + 7x3 7x3.(x2 – 2x
+ 1) 7x3. (x – 1)2 7x3 .(x – 1)
20) 4a2 – 9b2
= (2a – 3b)(2a + 3b) = 2a – 3b
4a2 + 12ab + 9b2 (2a + 3b)2 2a + 3b
21) x2 +
4x + 3 = (x + 1)(x + 3) = x + 1
x2 + 6x + 9 (x + 3)2 x + 3
22) x2 –
6x + 8 = ( x – 2)(x – 4) = x
– 4
x2 – 4 (x – 2)(x + 2) x + 2
23) x2 +
x – 6 = (x – 2)(x + 3) = x + 3
x2 – 4x + 4 (x – 2)2 x – 2
24) x2 –
5x + 4 = (x – 1)(x – 4) = x
– 4
x2 – 2x + 1 (x – 1)2 x - 1
25) 3x2
– 18x + 27 = 3.(x2 – 6x + 9) = 3.(x – 3)2 = x - 3
3x2 – 9x 3x. (x – 3) 3x.(x – 3) x
26) 4x2
+ 20x + 25 = (2x + 5)2 =
2x + 5
4x2 – 25 (2x – 5)(2x + 5) 2x – 5
27) xy2
– 2xy = xy.(y – 2) = xy
y2 – 4 (y – 2)(y +2) y +2
28) x2 – 4x + 4 = (x – 2)2 =
x – 2
xy – 2y y.(x – 2) y
29) a2 –
2ab + b2 = (a – b)2 =
a – b
2a – 2b 2.(a – b) 2
30) a2 – b2 =
(a – b)(a + b) = a – b
a2 + 2ab + b2 (a + b)2 a + b
Função Quadrática
Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
- f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
- f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
- f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
- f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
- f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
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Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
- se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
- se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
Zero e Equação do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Temos:
Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:
- quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
- quando é zero, há só uma raiz real;
- quando é negativo, não há raiz real.Coordenadas do vértice da parábolaQuando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:ImagemO conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:1ª - quando a > 0,
a > 02ª quando a < 0,a < 0Construção da ParábolaÉ possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:- O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
- Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
- O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
- A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
- Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.
SinalConsideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:1º - > 0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:quando a > 0 y > 0 (x < x1 ou x > x2)
y < 0 x1 < x < x2quando a < 0 y > 0 x1 < x < x2
y < 0 (x < x1 ou x > x2)
Ex:
Função do 1° Grau
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
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Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Zero e Equação do 1º Grau
Zero e Equação do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que f(x) = 0.
Temos:
f(x) = 0 ax + b = 0
Vejamos alguns exemplos:
- Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
f(x) = 0 2x - 5 = 0 - Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2
- Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5
Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
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Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:
- para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
- para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).
Sinal
Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:
Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente)
y > 0 ax + b > 0 x >
y < 0 ax + b < 0 x <
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente)
y > 0 ax + b > 0 x <
y < 0 ax + b < 0 x >
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
Ex:
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