terça-feira, 10 de julho de 2012
domingo, 8 de julho de 2012
Como Estudar Matemática?
Dicas Gerais:
Faça você mesmo os exercícios, nunca peça a outra pessoa para fazê-los, apenas peça explicações.
Leia os enunciados mais de uma vez para compreender o que é pedido. Nem sempre compreendemos tudo na primeira leitura. Se for possível, destaque os dados mais importantes.
Quando surgir alguma dúvida durante a resolução de exercícios, volte ao enunciado.
Ao resolver problemas, leia observando o que deve ser feito para solucioná-los, anotando os dados.
Confira sempre as anotações.
Procure relacionar as matérias com situações do dia-a-dia.
Confira se está tudo de acordo como enunciado e se há questões sem fazer.
Como estudar Matemática durante as aulas:
Participe das aulas, perguntando quando tiver alguma dúvida sobre a matéria ou sobre as resoluções dos exercícios.
Dê bastante atenção as explicações e correções, mesmo quando achar a matéria fácil.
Participe falando sua forma de resolução, sempre que ela for diferente da apresentada por outros colegas.
Corrija todo o dever com muita atenção, não deixe de marcar certo ou errado e faça sempre a correção necessária. Nunca copie do quadro exercícios prontos, sem tê-los entendido primeiro.
Como estudar Matemática em casa:
Faça os deveres com atenção e sempre que tiver dúvida, consulte a matéria.
Estude refazendo os exercícios dados em aula.
Se errar procure descobrir seu erro e repita o exercício até acertá-lo com segurança.
Exercite e aprimore as operações fundamentais, sempre conferindo o resultado.
Reveja diariamente toda a matéria dada, principalmente os exercícios que você teve maior dificuldade.
Fonte: http://www.mundovestibular.com.br/
Faça você mesmo os exercícios, nunca peça a outra pessoa para fazê-los, apenas peça explicações.
Leia os enunciados mais de uma vez para compreender o que é pedido. Nem sempre compreendemos tudo na primeira leitura. Se for possível, destaque os dados mais importantes.
Quando surgir alguma dúvida durante a resolução de exercícios, volte ao enunciado.
Ao resolver problemas, leia observando o que deve ser feito para solucioná-los, anotando os dados.
Confira sempre as anotações.
Procure relacionar as matérias com situações do dia-a-dia.
Confira se está tudo de acordo como enunciado e se há questões sem fazer.
Como estudar Matemática durante as aulas:
Participe das aulas, perguntando quando tiver alguma dúvida sobre a matéria ou sobre as resoluções dos exercícios.
Dê bastante atenção as explicações e correções, mesmo quando achar a matéria fácil.
Participe falando sua forma de resolução, sempre que ela for diferente da apresentada por outros colegas.
Corrija todo o dever com muita atenção, não deixe de marcar certo ou errado e faça sempre a correção necessária. Nunca copie do quadro exercícios prontos, sem tê-los entendido primeiro.
Como estudar Matemática em casa:
Faça os deveres com atenção e sempre que tiver dúvida, consulte a matéria.
Estude refazendo os exercícios dados em aula.
Se errar procure descobrir seu erro e repita o exercício até acertá-lo com segurança.
Exercite e aprimore as operações fundamentais, sempre conferindo o resultado.
Reveja diariamente toda a matéria dada, principalmente os exercícios que você teve maior dificuldade.
Fonte: http://www.mundovestibular.com.br/
terça-feira, 3 de julho de 2012
POLINOMIOS
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
ADIÇÃO DE POLINÔMIOS
EXEMPLO
Vamos calcular:
(3x²- 6x + 4) + (2x² + 4x – 7)=
=3x²-6x+4+2x²+4x-7=
=3x²+2x²-6x+4x+4-6=
=5x²-2x-3
EXERCÍCIOS
1) Efetue as seguintes adições de polinômios:
a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) _______ (R:5x² -2x + 1)
b) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2) ______ (R:3x² + 8x - 10)
c) (3x-6y+4)+(4x+2y-2) ________ (R:7x -4y +2)
d) (5x²-7x+2)+(2x²+7x-1) _______ (R:7x²+ 1)
e) (4x+3y+1)+(6x-2y-9) _________ (R:10x +1y-8)
f) (2x³+5x²+4x)+(2x³-3x²+x) _____ (R:4x³ +2x²+ 5x)
g) (5x²-2ax+a²)+(-3x²+2ax-a²) ____ (R: 2x²)
h) (y²+3y-5)+(-3y+7-5y²) ________ (R: -4y² + 2)
i) (x²-5x+3)+(-4x²-2x) __________ (R:-3x² - 7x + 3)
j) (9x²-4x-3)+(3x²-10) __________ (R:12x² -4x- 13)
SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS
EXEMPLOS
Vamos calcular:
(5x²-4x+9)-(8x²-6x+3)=
=5x²-4x+9-8x²+6x-3=
=5x²-8x²-4x+6x+9-3=
=-3x²+2x+6
EXERCICIOS
1) Efetue as seguintes subtrações:
a) (5x²-4x+7)-(3x²+7x-1) _____ (R: 2x² - 11x + 8)
b) (6x²-6x+9)-(3x²+8x-2) _____ (R: 3x² - 14x + 11)
c) (7x-4y+2)-(2x-2y+5) _______ (R: 5x - 2y – 3)
d) (4x-y-1)-(9x+y+3) _________ (R: -5x – 2y – 4)
e) (-2a²-3ª+6)-(-4a²-5ª+6) _____ ( R: -2a² +2a)
f) (4x³-6x²+3x)-(7x³-6x²+8x) ___ (R: -3x³ - 5x)
g) (x²-5x+3)-(4x²+6) _________ (R: -3x² -5x -3)
h) (x²+2xy+y²)-(y²+x²+2xy) ____ (R: 0)
i) (7ab+4c-3a)-(5c+4a-10) ______ (R: 7ab -c-7a + 10)
MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS
EXEMPLOS
1) 4x(2x-3y ) =
=4x. 2x – 4x.3y
=8x² - 12xy
2) (3x + 5) . (x + 2)
= 3x(x+2) + 5(x + 2)=
=3x²+6x+5x+10
= 3x² + 11x + 10
EXERCICIOS
1) Calcule os produtos
a) 3(x+y) ____ (R: 3x +3y)
b) 7(x-2y) ___ (R: 7x - 14y)
c) 2x(x+y) ___ (R: 2x² + 2xy)
d) 4x (a+b) ___ (R: 4xa + 4xb)
e) 2x(x²-2x+5) _ (R:2x³ - 4x² + 10x)
f) (x+5).(x+2) __ (R: x² +7x +10)
g) (3x+2).(2x+1) __ (R: 6x² +7x + 2)
h) (x+7).(x-4) ____ (R: x² +3x -28)
i) (3x+4).(2x-1) ___ (R: 6x² +5x -4)
j) (x-4y).(x-y) ____ (R: x² -5xy + 4y²)
k) (5x-2).(2x-1) ___ (R: 10x² -9x + 2)
l) (3x+1).(3x-1) ___ (R: 9x² - 1)
m) (2x+5).(2x-5) __ (R: 4x² - 25)
n) (6x²-4).(6x²+4) __ (R:
o) (3x²-4x-3).(x+1) __ (R: 3x³ - 1x² - 7x -3)
p) (x²-x-1).(x-3) _____ (R: x³ - 4x² + 2x + 3)
q) (x-1).(x-2).(x-3) ____ (R: x³ - 6x² - 3x - 9)
r) (x+2).(x-1).(x+3) ____ (R: x³ + 4x² + 3x + 1)
s) (x³-2).(x³+8) _______ (R:
t) (x²+2).(x²+6) _______ (R:
DIVISÃO DE UM POLINOMIO POR UM MONOMIO
Vamos efetuar as divisões:
a) (8x⁵ - 6x⁴) : (+2x) = 4x⁴ - 3x³
b) (15x³ - 4x²) : (-5x) = -3x² + 4x/5
Conclusão:Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.
EXERCÍCIOS
1) Efetue as divisões:
a) ( 12x² - 8x) : (+2x) =
b) (3y³ + 6y²) : (3y) =
c) ( 10x² + 6x) : (-2x) =
d) (4x³ - 9x) : (+3x) =
e) ( 15x³ - 10x²) : (5x²)
f) (30x² - 20xy) : (-10x)
g) (-18x² + 8x) : (+2x)
h) (6x²y – 4xy²) : (-2x)
2) Efetue as Divisões:
a) ( x³ + 2x² + x ) : (+x) =
b) (x² + x³ + x⁴) : (+x²) =
c) (3x⁴ - 6x³ + 10x²) : (-2x²) =
d) (x⁷ + x⁵ + x³) : (-x²) =
e) (3x²y – 18xy²) : (+3xy) =
f) (7x³y – 8x²y²) : (-2xy) =
g) (4x²y + 2xy – 6xy²) : (-2xy) =
h) (20x¹² - 16x⁸ - 8x⁵) : ( +4x⁴) =
i) (3xy⁴ + 9x²y – 12xy²) : (+3xy) =
DIVISÃO DE POLINÔMIO POR POLINÔMIO
explicaremos como se efetua a divisão de polinômios pelo método de chaves, por meio de exemplos.
Exemplo 1
Vamos efetuar a divisão:
(2x² - 5x - 12) : ( x -4)
Observe que os polinômios estão ordenados segundo as potências decrescentes de x.
a)Coloque o polinômio assim:
b) Divida o primeiro termo do dividendo (2x²) pelo primeiro termo do divisor (x) e obtenha o primeiro termo do quosciente (2x)
c) Multiplique o primeiro termo do quosciente (2x) pelos termos do divisor , colocando os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do dividendo. A seguir , reduza so termos semelhantes:
Exemplo 2
Vamos calcular a divisão
Terminamos a divisão, pois o grau de x - 1 (resto) é inferior ao de 2x² - 3x + 1 (divisor)
logo: quociente : 3x² - x - 6
resto: x -1
EXERCICIOS
1) Calcule os quocientes:
a) ( x² + 5x + 6) : (x + 2)
b) (x² - 7x + 10 ) : ( x - 2)
c) (2x² + 6x + 4 ) : ( x + 1)
d) ( x³ - 6x² + 11x – 6) : ( x – 3)
e) ( 7x³ + 27x² - 3x + 4 ) : ( x + 4)
f) (2x³ + 3x² - x – 2) : ( 2x – 3)
g) ( x³ - 6x² + 7x + 4) : (x² - 2x – 1)
h) (3x³ - 13x² + 37x – 50 ) : ( x² -2x + 5)
i) ( 10x³ - 31x² + 26x – 3) : ( 5x² - 8x + 1)
j) ( 4x⁴ - 14x³ + 15x² -17x + 5 ) : (x² - 3x + 1)
POLINOMIOS
Adição e Subtração de Polinômios
O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir:
Adição
Exemplo 1
Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6.
(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.
+(–3x2) = –3x2
+(+8x) = +8x
+(–6) = –6
x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.
x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6
–2x2 + 5x – 7
Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7
Exemplo 2
Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:
(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.
4x2 – 10x + 6x – 5 + 12
4x2 – 4x + 7
Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7
Subtração
Exemplo 3
Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.
(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
– (–3x2) = +3x2
– (+10x) = –10x
– (–6) = +6
5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.
5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6
8x2 – 19x – 2
Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2
Exemplo 4
Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:
(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais.
2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.
2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5
0x³ – 6x² + x + 16
– 6x² + x + 16
Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16
Exemplo 5
Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule:
a) A + B + C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20
9x³ + 6x² – 8x + 45
A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45
b) A – B – C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15
A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15
Adição, Subtração e Multiplicação de Polinômios
Nas situações envolvendo cálculos algébricos, é de extrema importância a aplicação de regras nas operações entre os monômios. As situações aqui apresentadas abordarão a adição, a subtração e a multiplicação de polinômios.
Adição e Subtração
Considere os polinômios –2x² + 5x – 2 e –3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a adição e a subtração entre eles.
Adição
(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência
–3x³ – 2x² + 7x – 3
Subtração
(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência
3x³ – 2x² + 3x – 1
Multiplicação de polinômio por monômio
Para entendermos melhor, observe o exemplo:
(3x2) * (5x3 + 8x2 – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
15x5 + 24x4 – 3x3
Multiplicação de polinômio por polinômio
Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:
(x – 1) * (x2 + 2x - 6)
x2 * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)
(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)
x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.
x³ + x² – 8x + 6
Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.
Demonstrações através do cálculo algébrico
No estudo sobre o cálculo algébrico aprendemos a operar polinômios, fazer a sua fatoração e encontrar o seu mmc. E com essas informações é possível fazer algumas demonstrações como:
• A soma de dois números inteiros consecutivos será sempre a diferença de seus quadrados.
Considere x como sendo um número inteiro qualquer, o seu sucessor pode ser representado pelo polinômio x + 1. Somando esses dois polinômios chegaremos à seguinte expressão algébrica:
x + (x + 1) = x + x + 1 = 2x + 1
A diferença dos quadrados desses dois números consecutivos será representada pela seguinte expressão algébrica:
(x +1)2 - x2 = (x2 + 2x + 1) – x2 = x2 + 2x + 1 - x2 = 2x + 1
Comparado as duas expressões algébricas encontradas, podemos confirmar que
x + (x + 1) = (x +1)2 - x2
• A soma de cinco números inteiros consecutivos será sempre múltiplo de 5.
Considere como sendo cinco números inteiros consecutivos os polinômios: x-2 ; x-1 ; x ; x + 1 ; x + 2.
Um número para que seja múltiplo de cinco pode ser escrito da seguinte forma: 5x, onde x é um número inteiro qualquer, ou seja, qualquer número que multiplicado por 5 será múltiplo de cinco.
Somando os cinco números consecutivos teremos:
x - 2 + x - 1 + x + x + 1 + x + 2 = 5x -3 + 3 = 5x, portanto, é verdadeiro dizer que a soma de 5 números inteiros consecutivos terá como resposta um número múltiplo de 5.
• A soma de dois números inteiros ímpares será sempre um número par.
Para que um número seja par é preciso que ele esteja escrito da seguinte forma: 2x, onde x representa um número inteiro qualquer. Dessa forma, um número ímpar seria igual a 2x +1.
Somar dois números ímpares seria o mesmo que:
(2x +1) + (2x + 1) = 2 (2x + 1). A expressão algébrica (2x + 1) terá valor numérico igual a um número inteiro qualquer, quando multiplicado por 2 (2x + 1) irá resultar em um número par.
O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir:
Adição
Exemplo 1
Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6.
(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.
+(–3x2) = –3x2
+(+8x) = +8x
+(–6) = –6
x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.
x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6
–2x2 + 5x – 7
Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7
Exemplo 2
Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:
(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.
4x2 – 10x + 6x – 5 + 12
4x2 – 4x + 7
Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7
Subtração
Exemplo 3
Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.
(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
– (–3x2) = +3x2
– (+10x) = –10x
– (–6) = +6
5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.
5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6
8x2 – 19x – 2
Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2
Exemplo 4
Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:
(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais.
2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.
2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5
0x³ – 6x² + x + 16
– 6x² + x + 16
Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16
Exemplo 5
Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule:
a) A + B + C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20
9x³ + 6x² – 8x + 45
A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45
b) A – B – C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15
A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15
Adição, Subtração e Multiplicação de Polinômios
Nas situações envolvendo cálculos algébricos, é de extrema importância a aplicação de regras nas operações entre os monômios. As situações aqui apresentadas abordarão a adição, a subtração e a multiplicação de polinômios.
Adição e Subtração
Considere os polinômios –2x² + 5x – 2 e –3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a adição e a subtração entre eles.
Adição
(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência
–3x³ – 2x² + 7x – 3
Subtração
(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência
3x³ – 2x² + 3x – 1
Multiplicação de polinômio por monômio
Para entendermos melhor, observe o exemplo:
(3x2) * (5x3 + 8x2 – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
15x5 + 24x4 – 3x3
Multiplicação de polinômio por polinômio
Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:
(x – 1) * (x2 + 2x - 6)
x2 * (x – 1) + 2x * (x – 1) – 6 * (x – 1)
(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)
x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.
x³ + x² – 8x + 6
Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.
Demonstrações através do cálculo algébrico
No estudo sobre o cálculo algébrico aprendemos a operar polinômios, fazer a sua fatoração e encontrar o seu mmc. E com essas informações é possível fazer algumas demonstrações como:
• A soma de dois números inteiros consecutivos será sempre a diferença de seus quadrados.
Considere x como sendo um número inteiro qualquer, o seu sucessor pode ser representado pelo polinômio x + 1. Somando esses dois polinômios chegaremos à seguinte expressão algébrica:
x + (x + 1) = x + x + 1 = 2x + 1
A diferença dos quadrados desses dois números consecutivos será representada pela seguinte expressão algébrica:
(x +1)2 - x2 = (x2 + 2x + 1) – x2 = x2 + 2x + 1 - x2 = 2x + 1
Comparado as duas expressões algébricas encontradas, podemos confirmar que
x + (x + 1) = (x +1)2 - x2
• A soma de cinco números inteiros consecutivos será sempre múltiplo de 5.
Considere como sendo cinco números inteiros consecutivos os polinômios: x-2 ; x-1 ; x ; x + 1 ; x + 2.
Um número para que seja múltiplo de cinco pode ser escrito da seguinte forma: 5x, onde x é um número inteiro qualquer, ou seja, qualquer número que multiplicado por 5 será múltiplo de cinco.
Somando os cinco números consecutivos teremos:
x - 2 + x - 1 + x + x + 1 + x + 2 = 5x -3 + 3 = 5x, portanto, é verdadeiro dizer que a soma de 5 números inteiros consecutivos terá como resposta um número múltiplo de 5.
• A soma de dois números inteiros ímpares será sempre um número par.
Para que um número seja par é preciso que ele esteja escrito da seguinte forma: 2x, onde x representa um número inteiro qualquer. Dessa forma, um número ímpar seria igual a 2x +1.
Somar dois números ímpares seria o mesmo que:
(2x +1) + (2x + 1) = 2 (2x + 1). A expressão algébrica (2x + 1) terá valor numérico igual a um número inteiro qualquer, quando multiplicado por 2 (2x + 1) irá resultar em um número par.
OPERAÇÕES COM MONÔMIOS
OPERAÇÕES COM MONÔMIOS
O que são monômios ?
Um monômio é uma expressão algébrica racional inteira que representa um produto de números reais.
- Um monômio distinguimos em duas patês:
1) Um parte numérica (constante) que também é chamada de coeficiente .
2) Uma parte literal (variável)
TERMOS SEMELHANTES
Dois termos que têm parte literais iguais, ou que não têm parte literal, são denominados termos semelhantes.
São semelhantes , por exemplo:
1) 6ab e -2ab
2) 3x e 7x
3) 4abc e -2abc
4) 1/4x⁴ e 12x⁴
Observe que:
5x²y³ e 5x³y² não são semelhantes
-3x²y³ e 4y³x² são semelhante
Adição e subtração
Eliminam-se os parênteses e reduzem-se os termos semelhantes.
Exemplos 1
(+8x) + (-5x)
8x – 5x
3x
Exemplo 2
(-7x ) – ( +x)
-7x – x
-8x
Exemplo 3
(2/3x) – (-1/2x)
2/3x + 1/2x
4x/6 + 3x/6
7x/6
EXERCÍCIOS
1) Efetue:
a) (+7x) + (-3x) = (R: 4x)
b) (-8x) + (+11x) = (R: 3x )
c) (-2y) + (-3y) = (R: -5y)
d) (-2m) + (-m) = (R: -3m)
e) (+5a²) + (-3a²) = (R: 2a²)
f) (+5x) + (-5x) = (R: 0)
g) (+6x) + (-4x) = (R: 2x)
h) (-6n) + (+n) = (R: -4n)
i) (+8x) – ( -3x) = (R: 11x)
j) (-5x) – (-11x) = (R: 6x)
k) (-6y) – (-y) = (R: -5y)
l) (+7y) – (+7y) = (R: 0 )
m) (-3x) – (+4x) = (R -7x)
n) (-6x) – ( -x) = (R: -5x)
o) (+2y) – (+5y) = (R: -3y )
p) (-m) –(-m) = (R: 0 )
2) Efetue :
a) (+ 3xy) – (-xy) + (xy) = (R: 5xy)
b) (+ 15x) – (-3x) – (+7x) + (-2x) = (R: 9x )
c) (-9y) –( +3y) – (+y) + (-2y) = (R: -15y)
d) (3n) + (-8n) + (+4n) – (-5n) – (-n) = (R: 5n)
3) Efetue:
a) (+1/2x) + (-1/3x) = (R: 1x/6)
b) ( -2/5x) + (-2/3x) = (R: -16x/15)
c) (-7/2y) + (+1/4y) = (R: -13y/4)
d) (+2m) +( -3/4m) = (R: 5m/4)
e) (+2/3x) - ( -3/2x) = (R: 13x/6)
f) (-3/4y) – (+1/2y) = (R: -5y/4)
g) (+2/5m) – (+2/3m) = (-4m/15)
h) (-3x) –(-2/5x) = (R: 13x/5)
4) Calcule os monômios
a) 2x + 3x = (R: 5x)
b) 6y – 4y + 5y = (R: 7y)
c) 3a – 6a – a = (R: -4a)
d) 2/5 x²y 3/2 x²y = (R: 19/10 x²y)
e) 1/2ab – 3ab = (R: 5/2ab)
f) 7b + 4b – 6b = (R: 5b)
g) 3/2 y – 2y + 7/3 y = (R: 11/6Y)
h) 3/5 x + x = (R: 8/5x)
i) 8xy – 4xy + 4xy – 8xy = (R: 0xy)
j) 3/7 x + 41/8 x = ( R: 311/56x)
k) -x² + 2/5 x² = (R: -3/5 x²)
l) -3p -7p + 18p = (R: 8p)
MULTIPLICAÇÃO
O produto de dois monômios, basta multiplicarmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. E quanto multiplicamos as partes literais devemos usar a propriedade da potencia que diz para conservar a base e somar os expoentes.
Exemplo
Vamos Calcular:
(3x²) . (2x⁵) =
( 3 . x . x) . ( 2 .x.x.x.x.x.)=
3 .2 x.x.x.x.x.x.x =
6x⁷
Conclusão: multiplicam-se os coeficientes e as partes literais
Exemplos
a) (3x⁴) . (-5x³) = -15x⁷
b) (-4x) . (+3x) = -12x²
c) (-2y⁵) . (-7y ) = 14y⁶
d) (3x) . ( 2y) = 6xy
EXERCÍCIOS
1) Calcule:
a) (+5x) . (-4x²) = (R: -20x³)
b) (-2x) . (+3x) = (R: -6x²)
c) (+5x) . (+4x) = (R: 20x²)
d) (-n) . (+ 6n) = (R: -6n²)
e) (-6x²) . (+3x²) = (R: -18x³)
f) (-2y) . (5y) = (R: -10y²)
g) (+4x²) . (+5x³) = (R: 20x⁵)
h) (2y) . (-7x) = (R: -14yx)
i) (-2x) . (-3y) = (R: 6xy)
j) (+3x) . (-5y) = (R: -15xy)
k) (-3xy) . (-2x) = (R: 6x²y)
2) Calcule
a) (2xb) . (4x) = (R: 8x²b)
b) (-5x²) . (+5xy²) = ( R: -25 x³y²)
c) (-5) . (+15x²y) = (R: -75 x²y)
d) (-9X²Y) . (-5XY²) = (R: 45x³y³)
e) (+3X²Y) . (-XY) = ( R: -3x³y²)
f) (X²Y³) . (5X³Y²) = (R: 5x⁵y⁵)
g) (-3x) . (+2xy) . ( -x³) = (R: 6x⁵y)
h) (-x³) . (5yx²) . (2y³) = (R: -10x⁵y³)
i) (-xy) . (-xy) . (-xy) = (R: -x³y³)
j) (-xm) . ( x²m) . (3m) = (R: -3x³m³)
3) Calcule:
a) (1/2x) . (3/5x³) = (R: 3/10x⁴)
b) (-2/3x) . (+3/4y) = (R: -6/12xy ou -1/2xy)
c) (-1/3x²) . (4/3x³) = (R: -4/6x⁵ ou -2/3x⁵)
d) (-x²/3) . (-x/2) = (R: x³/6)
e) (-2x/3) . (6x/5) = (R: -12/15x²)
f) (-10xy) . ( xy²/3) =
DIVISÃO
A divisão de dois monômios, basta dividirmos o coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. E quanto dividimos as partes literais devemos usar a propriedade da potencia que diz para conservar a base e subtrair os expoentes.
Vamos calcula:
(15x⁶) : (5x²) =
15 . x . x . x. x. x. x : 3 . x . x
3 . x . x . x . x
3x⁴
Conclusão: dividem-se os coeficientes e as partes literais
Exemplos
a) (21x⁶) : (-7x⁴) = -3x²
b) (-10x³) : (-2x²) = +5x
c) (-15x³y) : ( -5xy) = +3x²
EXERCÍCIOS
1) Calcule os quocientes:
a) (15x⁶) : (3x²) = (R: 5x⁴)
b) (16x⁴) : (8x) = (R: 2 x³)
c) (-30x⁵) : (+3x³) = (R: -10)
d) (+8x⁶) : (-2x⁴) = (R: -4x²)
e) (-10y⁵) : (-2y) = (R: 5y⁴)
f) (-35x⁷) : ( +5x³) = (R: -7x⁴)
g) (+15x⁸) : (-3x²) = (R: -5x⁷)
h) (-8x) : (-8x ) = (R: 1)
i) (-14x³) : (+2x²) = (R: -7x)
j) (-10x³y) : (+5x²) = (R: -2xy)
k) (+6x²y) : (-2xy) = (R: -3x)
l) (-7abc) : (-ab) = (R: 7c)
m) (15x⁷) : ( 6x⁵) =
n) (20a³b²) : ( 15ab²) =
o) (+1/3x³) : (-1/5x²) =
p) (-4/5x⁵y) : ( -4/3x³y) =
q) (-2xy²) : ( xy/4) = (R: -8y)
2) Calcule
a) (10xy) : (5x) = ( R: 2y)
b) (x³y²) : (2xy) = (R: 1/2 x²y)
c) (-3xz²) : (-3xz) = (R: z)
d) (-14m⁶n³) : ( 7m⁴n²) = (R: -2m²n)
e) (1/2a³b²) : (-a³b²) = (R: -1/2)
f) (a⁴b³) : (5a³b) = (R: 1/5 ab²)
g) (-3x⁵y³) : (-4x²y) = (R: 3/4x³y²)
h) (-2/3 x⁴z⁴) : 5/3 z⁴ = (R: -2/5 x⁴)
POTENCIAÇÃO
Para elevarmos um monômio a uma potência devemos elevar cada fator desse monômio a essa potencia. Na pratica elevamos elevamos o coeficiente numérico à potencia e multiplicamos cada um dos epoentes das variáveis pelo expoente da potencia.
Vamos calcular:
(5a³m)² = 25 a⁶m
Conclusão : Para elevarmos um monômio a uma potência, elevamos cada um de seus fatores a essa potência.
Exemplos
1) (-7x)² = 49 x²
2) (-3x²y)³ = -27x⁶y³
3) (- 1/4x⁴)² = 1/16x⁸
EXERCÍCIOS
1) Calcule:
a) ( + 3x²)² =
b) (-8x⁴)² =
c) (2x⁵)³ =
d) (3y²)³ =
e) (-y²)⁴ =
f) (-mn)⁴ =
g) (2xy²)⁴ =
h) (-4x²b)² =
i) (-3y²)³ =
j) (-6m³)² =
k) (-3x³y⁴)⁴ =
l) (-2x²m³)³ =
2) Calcule:
a) (x²/2)³ =
b) (-x²/4)² =
c) (-1/2y)² =
d) (+2/3x)³ =
e) (-3/4m)² =
f) (-5/6m³)² =
RAIZ QUADRADA
Para extraimos a raiz de um monômio efetuamos a raiz de seu coeficiente numérico e a raiz de seus fatores. Na pratica isso equivale a dividirmos cada expoente pelo indice da raiz.
Aplicando a definição de raiz quadrada, temos:
a) √49x² = 7x, pois (7x)² = 49x²
b) √25x⁶ = 5x³, pois (5x³)² = 25x⁶
Conclusão: para extrair a raiz quadrada de um monômio, extraímos a raiz quadrada do coeficiente e dividimos o expoente de cada variável por 2
Exemplos:
a) √16x⁶ = 4x³
b) √64x⁴b² = 8x²b
Obs: Estamos admitindo que os resultados obtidos não assumam valores numéricos negativos
EXERCÍCIOS
1) Calcule
a) √4x⁶ =
b) √x²y⁴ =
c) √36c⁴ =
d) √81m² =
e) √25x¹² =
f) √49m¹⁰ =
g) √9xb² =
h) √9x²y² =
i) √16x⁸ =
2) Calcule:
a) √x²/49 =
b) √x²/25 =
c) √4/9x⁸ =
d) √49/64x¹⁰ =
e) √25/81yx⁶ =
f) √121/100 x²m⁸ =
O que são monômios ?
Um monômio é uma expressão algébrica racional inteira que representa um produto de números reais.
- Um monômio distinguimos em duas patês:
1) Um parte numérica (constante) que também é chamada de coeficiente .
2) Uma parte literal (variável)
TERMOS SEMELHANTES
Dois termos que têm parte literais iguais, ou que não têm parte literal, são denominados termos semelhantes.
São semelhantes , por exemplo:
1) 6ab e -2ab
2) 3x e 7x
3) 4abc e -2abc
4) 1/4x⁴ e 12x⁴
Observe que:
5x²y³ e 5x³y² não são semelhantes
-3x²y³ e 4y³x² são semelhante
Adição e subtração
Eliminam-se os parênteses e reduzem-se os termos semelhantes.
Exemplos 1
(+8x) + (-5x)
8x – 5x
3x
Exemplo 2
(-7x ) – ( +x)
-7x – x
-8x
Exemplo 3
(2/3x) – (-1/2x)
2/3x + 1/2x
4x/6 + 3x/6
7x/6
EXERCÍCIOS
1) Efetue:
a) (+7x) + (-3x) = (R: 4x)
b) (-8x) + (+11x) = (R: 3x )
c) (-2y) + (-3y) = (R: -5y)
d) (-2m) + (-m) = (R: -3m)
e) (+5a²) + (-3a²) = (R: 2a²)
f) (+5x) + (-5x) = (R: 0)
g) (+6x) + (-4x) = (R: 2x)
h) (-6n) + (+n) = (R: -4n)
i) (+8x) – ( -3x) = (R: 11x)
j) (-5x) – (-11x) = (R: 6x)
k) (-6y) – (-y) = (R: -5y)
l) (+7y) – (+7y) = (R: 0 )
m) (-3x) – (+4x) = (R -7x)
n) (-6x) – ( -x) = (R: -5x)
o) (+2y) – (+5y) = (R: -3y )
p) (-m) –(-m) = (R: 0 )
2) Efetue :
a) (+ 3xy) – (-xy) + (xy) = (R: 5xy)
b) (+ 15x) – (-3x) – (+7x) + (-2x) = (R: 9x )
c) (-9y) –( +3y) – (+y) + (-2y) = (R: -15y)
d) (3n) + (-8n) + (+4n) – (-5n) – (-n) = (R: 5n)
3) Efetue:
a) (+1/2x) + (-1/3x) = (R: 1x/6)
b) ( -2/5x) + (-2/3x) = (R: -16x/15)
c) (-7/2y) + (+1/4y) = (R: -13y/4)
d) (+2m) +( -3/4m) = (R: 5m/4)
e) (+2/3x) - ( -3/2x) = (R: 13x/6)
f) (-3/4y) – (+1/2y) = (R: -5y/4)
g) (+2/5m) – (+2/3m) = (-4m/15)
h) (-3x) –(-2/5x) = (R: 13x/5)
4) Calcule os monômios
a) 2x + 3x = (R: 5x)
b) 6y – 4y + 5y = (R: 7y)
c) 3a – 6a – a = (R: -4a)
d) 2/5 x²y 3/2 x²y = (R: 19/10 x²y)
e) 1/2ab – 3ab = (R: 5/2ab)
f) 7b + 4b – 6b = (R: 5b)
g) 3/2 y – 2y + 7/3 y = (R: 11/6Y)
h) 3/5 x + x = (R: 8/5x)
i) 8xy – 4xy + 4xy – 8xy = (R: 0xy)
j) 3/7 x + 41/8 x = ( R: 311/56x)
k) -x² + 2/5 x² = (R: -3/5 x²)
l) -3p -7p + 18p = (R: 8p)
MULTIPLICAÇÃO
O produto de dois monômios, basta multiplicarmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. E quanto multiplicamos as partes literais devemos usar a propriedade da potencia que diz para conservar a base e somar os expoentes.
Exemplo
Vamos Calcular:
(3x²) . (2x⁵) =
( 3 . x . x) . ( 2 .x.x.x.x.x.)=
3 .2 x.x.x.x.x.x.x =
6x⁷
Conclusão: multiplicam-se os coeficientes e as partes literais
Exemplos
a) (3x⁴) . (-5x³) = -15x⁷
b) (-4x) . (+3x) = -12x²
c) (-2y⁵) . (-7y ) = 14y⁶
d) (3x) . ( 2y) = 6xy
EXERCÍCIOS
1) Calcule:
a) (+5x) . (-4x²) = (R: -20x³)
b) (-2x) . (+3x) = (R: -6x²)
c) (+5x) . (+4x) = (R: 20x²)
d) (-n) . (+ 6n) = (R: -6n²)
e) (-6x²) . (+3x²) = (R: -18x³)
f) (-2y) . (5y) = (R: -10y²)
g) (+4x²) . (+5x³) = (R: 20x⁵)
h) (2y) . (-7x) = (R: -14yx)
i) (-2x) . (-3y) = (R: 6xy)
j) (+3x) . (-5y) = (R: -15xy)
k) (-3xy) . (-2x) = (R: 6x²y)
2) Calcule
a) (2xb) . (4x) = (R: 8x²b)
b) (-5x²) . (+5xy²) = ( R: -25 x³y²)
c) (-5) . (+15x²y) = (R: -75 x²y)
d) (-9X²Y) . (-5XY²) = (R: 45x³y³)
e) (+3X²Y) . (-XY) = ( R: -3x³y²)
f) (X²Y³) . (5X³Y²) = (R: 5x⁵y⁵)
g) (-3x) . (+2xy) . ( -x³) = (R: 6x⁵y)
h) (-x³) . (5yx²) . (2y³) = (R: -10x⁵y³)
i) (-xy) . (-xy) . (-xy) = (R: -x³y³)
j) (-xm) . ( x²m) . (3m) = (R: -3x³m³)
3) Calcule:
a) (1/2x) . (3/5x³) = (R: 3/10x⁴)
b) (-2/3x) . (+3/4y) = (R: -6/12xy ou -1/2xy)
c) (-1/3x²) . (4/3x³) = (R: -4/6x⁵ ou -2/3x⁵)
d) (-x²/3) . (-x/2) = (R: x³/6)
e) (-2x/3) . (6x/5) = (R: -12/15x²)
f) (-10xy) . ( xy²/3) =
DIVISÃO
A divisão de dois monômios, basta dividirmos o coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. E quanto dividimos as partes literais devemos usar a propriedade da potencia que diz para conservar a base e subtrair os expoentes.
Vamos calcula:
(15x⁶) : (5x²) =
15 . x . x . x. x. x. x : 3 . x . x
3 . x . x . x . x
3x⁴
Conclusão: dividem-se os coeficientes e as partes literais
Exemplos
a) (21x⁶) : (-7x⁴) = -3x²
b) (-10x³) : (-2x²) = +5x
c) (-15x³y) : ( -5xy) = +3x²
EXERCÍCIOS
1) Calcule os quocientes:
a) (15x⁶) : (3x²) = (R: 5x⁴)
b) (16x⁴) : (8x) = (R: 2 x³)
c) (-30x⁵) : (+3x³) = (R: -10)
d) (+8x⁶) : (-2x⁴) = (R: -4x²)
e) (-10y⁵) : (-2y) = (R: 5y⁴)
f) (-35x⁷) : ( +5x³) = (R: -7x⁴)
g) (+15x⁸) : (-3x²) = (R: -5x⁷)
h) (-8x) : (-8x ) = (R: 1)
i) (-14x³) : (+2x²) = (R: -7x)
j) (-10x³y) : (+5x²) = (R: -2xy)
k) (+6x²y) : (-2xy) = (R: -3x)
l) (-7abc) : (-ab) = (R: 7c)
m) (15x⁷) : ( 6x⁵) =
n) (20a³b²) : ( 15ab²) =
o) (+1/3x³) : (-1/5x²) =
p) (-4/5x⁵y) : ( -4/3x³y) =
q) (-2xy²) : ( xy/4) = (R: -8y)
2) Calcule
a) (10xy) : (5x) = ( R: 2y)
b) (x³y²) : (2xy) = (R: 1/2 x²y)
c) (-3xz²) : (-3xz) = (R: z)
d) (-14m⁶n³) : ( 7m⁴n²) = (R: -2m²n)
e) (1/2a³b²) : (-a³b²) = (R: -1/2)
f) (a⁴b³) : (5a³b) = (R: 1/5 ab²)
g) (-3x⁵y³) : (-4x²y) = (R: 3/4x³y²)
h) (-2/3 x⁴z⁴) : 5/3 z⁴ = (R: -2/5 x⁴)
POTENCIAÇÃO
Para elevarmos um monômio a uma potência devemos elevar cada fator desse monômio a essa potencia. Na pratica elevamos elevamos o coeficiente numérico à potencia e multiplicamos cada um dos epoentes das variáveis pelo expoente da potencia.
Vamos calcular:
(5a³m)² = 25 a⁶m
Conclusão : Para elevarmos um monômio a uma potência, elevamos cada um de seus fatores a essa potência.
Exemplos
1) (-7x)² = 49 x²
2) (-3x²y)³ = -27x⁶y³
3) (- 1/4x⁴)² = 1/16x⁸
EXERCÍCIOS
1) Calcule:
a) ( + 3x²)² =
b) (-8x⁴)² =
c) (2x⁵)³ =
d) (3y²)³ =
e) (-y²)⁴ =
f) (-mn)⁴ =
g) (2xy²)⁴ =
h) (-4x²b)² =
i) (-3y²)³ =
j) (-6m³)² =
k) (-3x³y⁴)⁴ =
l) (-2x²m³)³ =
2) Calcule:
a) (x²/2)³ =
b) (-x²/4)² =
c) (-1/2y)² =
d) (+2/3x)³ =
e) (-3/4m)² =
f) (-5/6m³)² =
RAIZ QUADRADA
Para extraimos a raiz de um monômio efetuamos a raiz de seu coeficiente numérico e a raiz de seus fatores. Na pratica isso equivale a dividirmos cada expoente pelo indice da raiz.
Aplicando a definição de raiz quadrada, temos:
a) √49x² = 7x, pois (7x)² = 49x²
b) √25x⁶ = 5x³, pois (5x³)² = 25x⁶
Conclusão: para extrair a raiz quadrada de um monômio, extraímos a raiz quadrada do coeficiente e dividimos o expoente de cada variável por 2
Exemplos:
a) √16x⁶ = 4x³
b) √64x⁴b² = 8x²b
Obs: Estamos admitindo que os resultados obtidos não assumam valores numéricos negativos
EXERCÍCIOS
1) Calcule
a) √4x⁶ =
b) √x²y⁴ =
c) √36c⁴ =
d) √81m² =
e) √25x¹² =
f) √49m¹⁰ =
g) √9xb² =
h) √9x²y² =
i) √16x⁸ =
2) Calcule:
a) √x²/49 =
b) √x²/25 =
c) √4/9x⁸ =
d) √49/64x¹⁰ =
e) √25/81yx⁶ =
f) √121/100 x²m⁸ =
FATORAÇÃO
FATORAÇÃO
O QUE SIGNIFICA FATORAR?
Fatorar significa transformar em produto
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de polinômios ou monômios e polinômios .
A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em evidencia. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.
1) FATOR COMUM
Vamos fatorar a expressão ax + bx + cx
Ax + bx + cx = x . (a + b + c)
O x é fator comum e foi colocado em evidência.
Exemplos
Vamos fatorar as expressões
1) 3x + 3y = 3 (x + y)
2) 5x² - 10x = 5x ( x – 2)
3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x – a)
EXERCÍCIOS
1) Fatore as expressões:
a) 4x + 4y = R: 4 ( x + y)b) 7a – 7b = R: 7 (a - b)c) 5x – 5 = R: 5 (x - 1)d) ax – ay = R: a (x - y)e) y² + 6y = R: y (y + 6)f) 6x² - 4a = R: 2 (3x² - 2a)g) 4x⁵ - 7x² = R: x² ( 4x³ - 7)
h) m⁷ - m³ = R : m³( m⁴- 1)
i) a³ + a⁶ = R: a³ ( 1 + a³)
j) x² + 13x = R: x(x + 13)k) 5m³ - m² =
l) x⁵⁰ + x⁵¹ =
m) 8x⁶ - 12x³ =
n) 15x³ - 21x² =
o) 14x² + 42x =
p) x²y + xy² =
2) Fatore as expressões:
a) 2a – 2m + 2n = (R: 2 (a -m+n))b) 5a + 20x + 10 = (R: 5(a + 4x + 2))c) 4 – 8x – 16y = (R: 4(1 - 2x - 4y))d) 55m + 33n = (R: 11(5m + 3n))e) 35ax – 42ay = (R: 7a(5x -6y)
f) 7am – 7ax -7an = (R: 7a(m - x - n))
g) 5a²x – 5a²m – 10a² = (R: 5a² ( x -m- 2))
h) 2ax + 2ay – 2axy = (R: 2a(x + y -xy))
3) Fotore as expressões:
a) 15x⁷ - 3ax⁴ =
b) x⁷ + x⁸ + x⁹ =
c) a⁵ + a³ - a² =
d) 6x³ -10x² + 4x⁴ =
e) 6x²y + 12xy – 9xyz =
f) a(x -3) + b(x -3) =
g) 9 ( m + n )- a( m –n)
2) AGRUPAMENTO
Vamos fatorar a expressão ax + bx + ay + by
ax + bx + ay + by
x( a + b) + y ( a+ b)
(a + b) .( x +y)
Observe o que foi feito:
Nos dois primeiros temos “x em evidencia”
Nos dois últimos fomos “y em evidência”
Finalmente “ (a + b) em evidência”
Note que aplicamos duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum
Exemplos:
Vamos fatorar as expressões:
1º exemplo
5ax + bx + 5ay + by
x.( 5a + b) + y (5a + b)
(x + y) (5a + b)
2º exemplo
x² + 3x + ax + 3a
x(x + 3) + a ( x + 3)
(x + 3) . ( x + a)
EXERCÍCIOS
1) Fatore as expressões:
a) 6x + 6y + ax + ay =
b) ax + ay + 7x + 7y=
c) 2a + 2n + ax +nx=
d) ax + 5bx + ay + 5by =
e) 3a – 3b + ax – bx =
f) 7ax – 7a + bx – b =
g) 2x – 2 + yx – y =
h) ax + a + bx + b =
2) Fatore as expressões:
a) m² + mx + mb + bx=
b) 3a² + 3 + ba² + b =
c) x³ + 3x² + 2x + 6 =
d) x³ + x² + x + 1 =
e) x³ - x² + x – 1 =
f) x³ + 2x² + xy + 2y =
g) x² + 2x + 5x + 10 =
h) x³ - 5x² + 4x – 20 =
3) DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
Vimos que : ( a+ b ) (a –b) = a² + b²
Sendo assim: a² + b²= ( a+ b ) (a –b)
Para fatorar a diferença de dois quadrados, basta determinar as raízes quadradas dos dois termos.
1º exemplo
x² - 49 = (x + 7) ( x – 7)
2º exemplo
9a² - 4b² = ( 3a + 2b) (3a – 2b)
Exercícios
1) Fatore as expressões:
a) a² - 25 =
b) x² - 1 =
c) a² - 4 =
d) 9 - x² =
e) x² - a² =
f) 1 - y² =
g) m² - n² =
h) a² - 64 =
2) Fatore as expressões
a) 4x² - 25 =
b) 1 – 49a² =
c) 25 – 9a² =
d) 9x² - 1 =
e) 4a² - 36 =
f) m² - 16n² =
g) 36a² - 4 =
h) 81 - x² =
i) 4x² - y²=
j) 16x⁴ - 9 =
k) 36x² - 4y² =
l) 16a² - 9x²y² =
m) 25x⁴ - y⁶ =
n) x⁴ - y⁴ =
4) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
Vimos que:
(a +b)² = a² + 2ab + b² Logo a² + 2ab + b² = (a +b)²
(a -b)² = a² - 2ab + b² Logo a² - 2ab + b² = (a -b)²
Observe nos exemplos a seguir que:
Os termos extremos fornecem raízes quadras exatas.
Os termos do meio deve ser o dobro do produto das raízes.
o resultado terá o sinal do termo do meio.
EXERCÍCIOS
1) Coloque na forma fatorada as expressões:
a) x² + 4x + 4 = R:(x + 2)²b) x² - 4x + 4 = R:(x -2)²c) a²+ 2a + 1 = R: (a + 1)²d) a² - 2a + 1 = R: (a – 1)²e) x²- 8x + 16= R: ( x – 4)²f) a² + 6a + 9 = R: (a + 3)²g) a² - 6a + 9 = R: (a + 3)²h) 1 – 6a + 9a² = R: (1 – 3a)²
2) Fatore as expressões
a) m² -12m + 36=
b) a² + 14a + 49 =
c) 4 + 12x + 9x² =
d) 9a² - 12a + 4 =
e) 9x² - 6xy + y² =
f) x² + 20x + 100 =
g) a² - 12ab + 36b² =
h) 9 + 24a + 16a² =
i) 64a² - 80a + 25 =
j) a⁴ - 22a² + 121
l) 36 + 12xy +x²y²
m) y⁴ - 2y³ + 1
O QUE SIGNIFICA FATORAR?
Fatorar significa transformar em produto
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de polinômios ou monômios e polinômios .
A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em evidencia. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.
1) FATOR COMUM
Vamos fatorar a expressão ax + bx + cx
Ax + bx + cx = x . (a + b + c)
O x é fator comum e foi colocado em evidência.
Exemplos
Vamos fatorar as expressões
1) 3x + 3y = 3 (x + y)
2) 5x² - 10x = 5x ( x – 2)
3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x – a)
EXERCÍCIOS
1) Fatore as expressões:
a) 4x + 4y = R: 4 ( x + y)b) 7a – 7b = R: 7 (a - b)c) 5x – 5 = R: 5 (x - 1)d) ax – ay = R: a (x - y)e) y² + 6y = R: y (y + 6)f) 6x² - 4a = R: 2 (3x² - 2a)g) 4x⁵ - 7x² = R: x² ( 4x³ - 7)
h) m⁷ - m³ = R : m³( m⁴- 1)
i) a³ + a⁶ = R: a³ ( 1 + a³)
j) x² + 13x = R: x(x + 13)k) 5m³ - m² =
l) x⁵⁰ + x⁵¹ =
m) 8x⁶ - 12x³ =
n) 15x³ - 21x² =
o) 14x² + 42x =
p) x²y + xy² =
2) Fatore as expressões:
a) 2a – 2m + 2n = (R: 2 (a -m+n))b) 5a + 20x + 10 = (R: 5(a + 4x + 2))c) 4 – 8x – 16y = (R: 4(1 - 2x - 4y))d) 55m + 33n = (R: 11(5m + 3n))e) 35ax – 42ay = (R: 7a(5x -6y)
f) 7am – 7ax -7an = (R: 7a(m - x - n))
g) 5a²x – 5a²m – 10a² = (R: 5a² ( x -m- 2))
h) 2ax + 2ay – 2axy = (R: 2a(x + y -xy))
3) Fotore as expressões:
a) 15x⁷ - 3ax⁴ =
b) x⁷ + x⁸ + x⁹ =
c) a⁵ + a³ - a² =
d) 6x³ -10x² + 4x⁴ =
e) 6x²y + 12xy – 9xyz =
f) a(x -3) + b(x -3) =
g) 9 ( m + n )- a( m –n)
2) AGRUPAMENTO
Vamos fatorar a expressão ax + bx + ay + by
ax + bx + ay + by
x( a + b) + y ( a+ b)
(a + b) .( x +y)
Observe o que foi feito:
Nos dois primeiros temos “x em evidencia”
Nos dois últimos fomos “y em evidência”
Finalmente “ (a + b) em evidência”
Note que aplicamos duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum
Exemplos:
Vamos fatorar as expressões:
1º exemplo
5ax + bx + 5ay + by
x.( 5a + b) + y (5a + b)
(x + y) (5a + b)
2º exemplo
x² + 3x + ax + 3a
x(x + 3) + a ( x + 3)
(x + 3) . ( x + a)
EXERCÍCIOS
1) Fatore as expressões:
a) 6x + 6y + ax + ay =
b) ax + ay + 7x + 7y=
c) 2a + 2n + ax +nx=
d) ax + 5bx + ay + 5by =
e) 3a – 3b + ax – bx =
f) 7ax – 7a + bx – b =
g) 2x – 2 + yx – y =
h) ax + a + bx + b =
2) Fatore as expressões:
a) m² + mx + mb + bx=
b) 3a² + 3 + ba² + b =
c) x³ + 3x² + 2x + 6 =
d) x³ + x² + x + 1 =
e) x³ - x² + x – 1 =
f) x³ + 2x² + xy + 2y =
g) x² + 2x + 5x + 10 =
h) x³ - 5x² + 4x – 20 =
3) DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
Vimos que : ( a+ b ) (a –b) = a² + b²
Sendo assim: a² + b²= ( a+ b ) (a –b)
Para fatorar a diferença de dois quadrados, basta determinar as raízes quadradas dos dois termos.
1º exemplo
x² - 49 = (x + 7) ( x – 7)
2º exemplo
9a² - 4b² = ( 3a + 2b) (3a – 2b)
Exercícios
1) Fatore as expressões:
a) a² - 25 =
b) x² - 1 =
c) a² - 4 =
d) 9 - x² =
e) x² - a² =
f) 1 - y² =
g) m² - n² =
h) a² - 64 =
2) Fatore as expressões
a) 4x² - 25 =
b) 1 – 49a² =
c) 25 – 9a² =
d) 9x² - 1 =
e) 4a² - 36 =
f) m² - 16n² =
g) 36a² - 4 =
h) 81 - x² =
i) 4x² - y²=
j) 16x⁴ - 9 =
k) 36x² - 4y² =
l) 16a² - 9x²y² =
m) 25x⁴ - y⁶ =
n) x⁴ - y⁴ =
4) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
Vimos que:
(a +b)² = a² + 2ab + b² Logo a² + 2ab + b² = (a +b)²
(a -b)² = a² - 2ab + b² Logo a² - 2ab + b² = (a -b)²
Observe nos exemplos a seguir que:
Os termos extremos fornecem raízes quadras exatas.
Os termos do meio deve ser o dobro do produto das raízes.
o resultado terá o sinal do termo do meio.
EXERCÍCIOS
1) Coloque na forma fatorada as expressões:
a) x² + 4x + 4 = R:(x + 2)²b) x² - 4x + 4 = R:(x -2)²c) a²+ 2a + 1 = R: (a + 1)²d) a² - 2a + 1 = R: (a – 1)²e) x²- 8x + 16= R: ( x – 4)²f) a² + 6a + 9 = R: (a + 3)²g) a² - 6a + 9 = R: (a + 3)²h) 1 – 6a + 9a² = R: (1 – 3a)²
2) Fatore as expressões
a) m² -12m + 36=
b) a² + 14a + 49 =
c) 4 + 12x + 9x² =
d) 9a² - 12a + 4 =
e) 9x² - 6xy + y² =
f) x² + 20x + 100 =
g) a² - 12ab + 36b² =
h) 9 + 24a + 16a² =
i) 64a² - 80a + 25 =
j) a⁴ - 22a² + 121
l) 36 + 12xy +x²y²
m) y⁴ - 2y³ + 1
PRODUTOS NOTÁVEIS
PRODUTOS NOTÁVEIS
Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
Exemplos :
1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²
2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²
Exercícios
1) Calcule
a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²)
b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25)
c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²)
d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4)
e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4)
f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1)
g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²)
h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²)
i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²)
j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²)
l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²)
m) (-5 + n)² = (R: 25 -10n + n²)
n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25)
o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²)
p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²)
q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1)
r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9]
s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²]
t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²]
u) ( x + ½)² = (R: x² +x + 1/4)
v) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4)
x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4]
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²
2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²
Exercícios
1) Calcule
a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²)
b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9)
c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²)
d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49)
e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25)
f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16)
g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²)
h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²)
i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1)
j) (x² - 1)² = (R: x⁴ - 2x² + 1)
l) (9x² - 1)² = (R: 81x⁴- 18x² + 1)
m) (x³ - 2)² = (R: x⁶ - 4x³ + 4)
n) (2m⁵ - 3)² = ( R:
o) (x – 5y³)² =
p) (1 - mx)² =
q) (2 - x⁵)² =
r) (-3x – 5)² =
s) (x³ - m³)² =
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²
conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²
Exemplos :
1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²
EXERCÍCIOS
1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:
a) (x + y) . ( x - y) = (R : x² - y²)
b) (y – 7 ) . (y + 7) = ( R : y² - 49)
c) (x + 3) . (x – 3) = ( R: x² - 9)
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = ( R: 4x² - 25)
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = ( R: 9x² - 4 )
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = ( R: 25x² - 16)
g) (3x + y ) (3x – y) = (R: 9x² - y² )
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = ( R: 1 - 25x² )
i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = ( R: 4x² - 9y² )
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = (R: 49 - 36x²)
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) = (R: 1 - 49x⁴)
m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) = ( R: 9x² - 16)
n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) = (R: 9x⁴ - y⁴)
o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) =
p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) =
q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) =
CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
.
Exemplo
a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²
------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²)
-------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
-------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²
-------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)
------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³
-------------- = x³ + 15x² + 75x +125
d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³
--------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³
--------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³
EXERCICIOS
1) Desenvolva
a) ( x + y)³ = (R: x³ + 3x²y + 3xy² + y³)
b) (x – y)³ = (R: x³ - 3x²y + 3xy² - y³)
c) (m + 3)³ = ( R: m³ + 9m² + 27m +27)
d) (a – 1 )³ = (R: a³ - 3a² + 3a -1)
e) ( 5 – x)³ = (R: 125 - 75x + 15x² -x³)
f) (-a - b)³
g) (x + 2y)³
h) ( 2x – y )³
i) (1 + 2y)³
j) ( x – 2x)³
k) ( 1 – pq)³
l) (x – 1)³
m) ( x + 2 )³
n) ( 2x – 1)³
o) ( 2x + 5 )³
p) (3x – 2 )³
Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
Exemplos :
1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²
2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²
Exercícios
1) Calcule
a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²)
b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25)
c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²)
d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4)
e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4)
f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1)
g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²)
h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²)
i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²)
j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²)
l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²)
m) (-5 + n)² = (R: 25 -10n + n²)
n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25)
o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²)
p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²)
q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1)
r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9]
s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²]
t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²]
u) ( x + ½)² = (R: x² +x + 1/4)
v) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4)
x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4]
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²
2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²
Exercícios
1) Calcule
a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²)
b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9)
c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²)
d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49)
e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25)
f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16)
g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²)
h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²)
i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1)
j) (x² - 1)² = (R: x⁴ - 2x² + 1)
l) (9x² - 1)² = (R: 81x⁴- 18x² + 1)
m) (x³ - 2)² = (R: x⁶ - 4x³ + 4)
n) (2m⁵ - 3)² = ( R:
o) (x – 5y³)² =
p) (1 - mx)² =
q) (2 - x⁵)² =
r) (-3x – 5)² =
s) (x³ - m³)² =
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²
conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²
Exemplos :
1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²
EXERCÍCIOS
1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:
a) (x + y) . ( x - y) = (R : x² - y²)
b) (y – 7 ) . (y + 7) = ( R : y² - 49)
c) (x + 3) . (x – 3) = ( R: x² - 9)
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = ( R: 4x² - 25)
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = ( R: 9x² - 4 )
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = ( R: 25x² - 16)
g) (3x + y ) (3x – y) = (R: 9x² - y² )
h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = ( R: 1 - 25x² )
i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = ( R: 4x² - 9y² )
j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = (R: 49 - 36x²)
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) = (R: 1 - 49x⁴)
m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) = ( R: 9x² - 16)
n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) = (R: 9x⁴ - y⁴)
o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) =
p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) =
q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) =
CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
.
Exemplo
a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²
------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²)
-------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
-------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²
-------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)
------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³
-------------- = x³ + 15x² + 75x +125
d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³
--------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³
--------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³
EXERCICIOS
1) Desenvolva
a) ( x + y)³ = (R: x³ + 3x²y + 3xy² + y³)
b) (x – y)³ = (R: x³ - 3x²y + 3xy² - y³)
c) (m + 3)³ = ( R: m³ + 9m² + 27m +27)
d) (a – 1 )³ = (R: a³ - 3a² + 3a -1)
e) ( 5 – x)³ = (R: 125 - 75x + 15x² -x³)
f) (-a - b)³
g) (x + 2y)³
h) ( 2x – y )³
i) (1 + 2y)³
j) ( x – 2x)³
k) ( 1 – pq)³
l) (x – 1)³
m) ( x + 2 )³
n) ( 2x – 1)³
o) ( 2x + 5 )³
p) (3x – 2 )³
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