segunda-feira, 18 de agosto de 2014

QUESTÕES RESOLVIDAS FATORAÇÃO

Simplifique as expressões fatorando o numerador e o denominador:

1)    __x2 – 144____  =  (x + 12)(x – 12) = x – 12
         x2 + 24x + 144         (x + 12)2               x + 12

2)    __x2 +22x + 121 (x + 11)2  = x + 11
                   x + 11            x + 11

3)    x2 - 100 = ( x – 10)(x + 10) = x + 10
        x – 10              x – 10

4)  x2 + 5x = x.( x + 5) = x
      x + 5          x + 5

5) 4x – 8 = 4.(x - 2) = 4
     x – 2        x – 2

6) 5x + 10 = 5.(x + 2)   = 1
   10x + 20   10.(x + 2)     2

7) a2 – ab = a.( a – b) = a
     a – b          a – b

8) x2 + 3x = x.(x + 3) = x
    4x + 12    4.(x + 3)    4

9)       7c – 21 = 7.(c – 3) =      7
    c2 – 6c + 9     (c – 3)2       c - 3

10) x2 – 16x + 64   =         (x – 8)2  = x – 8
          x2 – 64            (x – 8)(x + 8)     x + 8

11)          m2 – 25 = (m – 5)(m + 5) = m - 5
     m2 + 10m + 25       (m + 5)2           m + 5

12) 4x2 – 4x + 1 =     (2x – 1 )2            = 2x – 1
          4x2 – 1         (2x – 1)(2x + 1)        2x + 1

13) x2 + 6x + 9 =   (x + 3)2  = x + 3
          x + 3              x + 3

14) a3 – ab2   =  a.(a2 – b2) = a.(a – b)(a + b) = a – b
      a.( a + b)      a.(a + b)      a(a + b)

15) a2 + ab – ac – bc = a.(a + b) – c.(a + b) = (a + b)(a – c) = a + b
             a2 – ac                    a.(a – c)                   a.(a – c)             a

16) 9x2 – 6x + 1 =       (3x – 1)2          =   3x – 1
          9x2 – 1          (3x – 1)(3x + 1)         3x + 1

17) x2 + 5x + ax + 5a = x.(x + 5) + a.( x + 5) = (x + 5)(x + a) = x + a
            2x + 10                          2.(x + 5)              2.( x + 5)           2

18) 7a – 7b + am – bm = 7(a – b) + m(a – b)  = (a – b)(7 + m)  =  7 + m
           a2 – 2ab + b2                  (a – b)                       (a – b)2              a – b

19) x3 – x2 + 6x – 6x2.(x – 1) + 6.(x – 1)  = (x – 1)(x2 + 6)  =     x2 + 6
     7x5 – 14x4 + 7x3       7x3.(x2 – 2x + 1)              7x3. (x – 1)2      7x3 .(x – 1)

20)             4a2 – 9b2 =  (2a – 3b)(2a + 3b)  = 2a – 3b
      4a2 + 12ab + 9b2           (2a + 3b)2              2a + 3b

21) x2 + 4x + 3 =  (x + 1)(x + 3)  x  + 1
      x2 + 6x + 9         (x + 3)2            x + 3

22) x2 – 6x + 8 = ( x – 2)(x – 4) x – 4
         x2 – 4          (x – 2)(x + 2)      x + 2

23) x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)  =  x + 3
      x2 – 4x + 4      (x – 2)2             x – 2

24) x2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4)x – 4
       x2 – 2x + 1        (x – 1)2           x - 1

25) 3x2 – 18x + 27 = 3.(x2 – 6x + 9)  = 3.(x – 3)2  = x - 3
          3x2 – 9x              3x. (x – 3)        3x.(x – 3)       x

26) 4x2 + 20x + 25 =       (2x + 5)2         2x + 5
           4x2 – 25           (2x – 5)(2x + 5)       2x – 5  

27) xy2 – 2xy =  xy.(y – 2)      =       xy
        y2 – 4         (y – 2)(y +2)       y +2

28) x2 – 4x + 4 =  (x – 2)2      =   x – 2
         xy – 2y        y.(x – 2)            y

29) a2 – 2ab + b2 =  (a – b)2   =   a – b
           2a – 2b         2.(a – b)         2

30)      a2 – b2       =  (a – b)(a + b)  = a – b

      a2 + 2ab + b2         (a + b)2              a + b

Função Quadrática

Definição
    
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
    Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
  1. f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
  2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
  3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
  4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
  5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico
    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.


Exemplo:
    Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.


xy
-36
-22
-10
00
12
26
    Observação:
  
 Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
  • se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
  • se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau
    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
    Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
    
Temos:
                    
Observação
  
 A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:
  • quando  é positivo, há duas raízes reais e distintas;
  • quando  é zero, há só uma raiz real;
  • quando  é negativo, não há raiz real.

    Coordenadas do vértice da parábola
       
    Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
    Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

    Imagem
         
    O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c,  a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
    1ª - quando a > 0,
     

    a > 0

    2ª quando a < 0,
    a < 0



    Construção da Parábola
      
     É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
    1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
    2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
    3. O vértice V  indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
    4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos  y é o eixo de simetria da parábola;
    5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então  (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo dos y.




    Sinal
       
    Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.
        Conforme o sinal do discriminante  = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:
    1º -   > 0
       Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1  x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é  o indicado nos gráficos abaixo:
    quando a > 0
    y > 0 (x < x1 ou x > x2)
    y < 0 x1 < x < x2




    quando a < 0
    y > 0 x1 < x < x2
    y < 0  (x < x1 ou x > x2)


     

    Ex:
     

     



     


     


      

Função do 1° Grau

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(
x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(
x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
    Exemplo:
    Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
    Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
    a)    Para   x = 0, temos   y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
    b)    Para   
y = 0, temos   0 = 3x - 1; portanto,  e outro ponto é .
    Marcamos os pontos (0, -1) e  no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
xy
0-1
0
    Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
    O coeficiente de 
x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
    O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.




Zero e Equação do 1º Grau

   
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que  f(x) = 0.
   Temos:
   f(x) = 0        ax + b = 0        
   Vejamos alguns exemplos:





  1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
                                        f(
    x) = 0        2x - 5 = 0        





  2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
                                        g(
    x) = 0        3x + 6 = 0        x = -2
       





  3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:
    O ponto em que o gráfico corta o eixo dos 
    x é aquele em que h(x) = 0; então:
        h(
    x) = 0        -2+ 10 = 0        x = 5

Crescimento e decrescimento
   Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
x-3-2-10123
y-10-7-4-1258
      Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes
    valores de y também aumentam. Dizemos, então que a
    função y = 3x - 1 é crescente.
   Observamos novamente seu gráfico:
Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:
  • para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
  • para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Sinal
   
Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
    Consideremos  uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:
  1º) a > 0 (a função é crescente)
         y > 0       ax + b > 0         x > 
         y < 0      ax + b < 0         x < 
    Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente)
          y > 0   ax + b > 0            x < 
         y < 0   ax + b < 0        x > 

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.


 Ex: